LEY DE GAUSS

En esta sección describimos una relación de tipo general entre el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada (a menudo llamada superficie de gauss) y la carga encerrada por la superficie. Esta relación, conocida como Ley de Gauss, es de importancia fundamental en el estudio de los campos eléctricos.

Supongamos de nuevo una carga puntual positiva q localizada en el centro de una esfera de radio r.

Gracias a la ecuación E=k_eq/r²ȓ, sabemos que la magnitud del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie de la esfera es E=k_eq/r². Como es posible observar en el ejemplo

Las líneas de campo están dirigidas radialmente hacia afuera y por lo tanto son perpendiculares a la superficie en todos sus puntos. Esto es, en cada punto de la superficie, E es paralelo al vector ΔA_i que representa un elemento de área local ΔA_i que rodea el punto en la superficie. Por lo tanto,

E*ΔA_i = EΔA_i

Encontramos que el flujo neto a través de la superficie gaussiana es igual a

  

Donde hemos pasado a E afuera de la integral ya que, por simetría, E es constante a lo largo de la superficie y esta dada por E=k_eq/r². Ademas, en vista de que la superficie es esférica,

Por lo tanto, el flujo neto a través de la superficie gaussiana es

Ф_E=k_eq/r²(4𝛑r²)=4𝛑k_eq

Recordando que k_e=1/4𝛑ϵ₀, podemos escribir esta ecuación de la forma

Ф_E =q/ϵ₀

Observe en la ecuación que el flujo neto atraves de la superficie esférica es proporcional a la carga existente en el interior. El flujo es independiente del radio r porque el área de la superficie esférica es proporcional a r², en tanto que el campo eléctrico es proporcional a 1/r². En consecuencia, en el producto del área y el campo eléctrico, se elimina la dependencia sobre r.